波函数

Schrödinger 方程

Schrödinger 方程（一维）

$$\boxed{i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi}$$

其中 $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$，$\Psi = \Psi(x,t)$，$V = V(x)$。

说明 由 $\Psi(x,0)$ 及势 $V(x)$ 可解出 $\Psi(x,t)$。

波函数的统计诠释（by Born）

Born 统计诠释

$$\boxed{\int_a^b \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = P\{t\text{ 时刻发现粒子位于 } a,b\text{ 之间}\}}$$

归一化

归一化条件

$$\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = 1}$$

可归一化条件 只有平方可积的波函数可以满足归一化，亦即

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = C \in \mathbb{R}$$

由于 $\Psi(x,t)$ 与 $A\Psi(x,t)$ 都满足 Schrödinger 方程，若求得

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|A\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = A^2$$

则取 $\Psi(x,t)$ 为波函数，满足 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x,t)|^2 \,dx = 1$。

注意： $\Psi$ 与 $A\Psi$ 是粒子同一状态。

归一化随时间保持 归一化条件在时间演化中保持不变：

$$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = 0$$

证明：归一化的时间不变性 计算

$$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx$$

由于 $|\Psi|^2 = \Psi^* \Psi$，且由 Schrödinger 方程：

$$\begin{align*} \frac{\partial \Psi}{\partial t} &= \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar} V\Psi \\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} &= -\frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} + \frac{i}{\hbar} V\Psi^* \end{align*}$$

于是

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\bigl|\Psi\bigr|^2 \,dx &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\right] dx \\ &= \frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\right)\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} \end{align*}$$

由于归一化要求 \displaystyle\lim_{x o\infty} igl|\Psi(x,t)igr|^2 = 0，故

$$\boxed{\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl|\Psi(x,t)\bigr|^2 \,dx = 0}$$

$\square$