数域与线性空间

数域与向量

Definition: 数域

一个集合 $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$, 至少含有两个不同元素, 并且加, 减, 乘, 除法封闭.

Proposition

任一数域必包含有理数域 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}$ 是最小的数域.

Definition: $n$ 维行向量

一个有序数组即 $1 \times n$ 阶矩阵 $(a_1, \ldots, a_n)$, 其中 $a_i$ 属于数域 $\mathbb{K}$, $i = 1, \ldots, n$.

Definition: $n$ 维列向量

一个有序数组即 $n \times 1$ 阶矩阵 $\begin{pmatrix} a_1

\vdots

a_n \end{pmatrix}$, 其中$a_i$属于数域$\mathbb{K}$,$i = 1, \ldots, n$.

线性空间

Definition: 线性空间

一个集合 $V$, 在其上定义了加法 $+$, 在 $V$ 与一个数域 $\mathbb{K}$ 之间定义了数乘, 满足:

[leftmargin=2em]

- $\alpha + \beta = \beta + \alpha$;
- $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$;
- $\alpha + 0 = \alpha$, $\exists\, 0 \in V$, $\forall\, \alpha \in V$;
- $\alpha + \beta = 0$, $\exists\, \beta \in V$, $\forall\, \alpha \in V$;
- $1 \cdot \alpha = \alpha$;
- $k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$;
- $(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$;
- $k(l\alpha) = (kl)\alpha$,

其中 $\alpha, \beta, \gamma \in V$, $k, l \in \mathbb{K}$.

Example: 几类特别的线性空间

[leftmargin=2em]

- 数域 $\mathbb{K}$ 上全体 $n$ 维行(列)向量集合 $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}_n$);
- 系数取自数域 $\mathbb{K}$ 上的一元多项式的全体 $\mathbb{K}[x]$, 其中次数不大于 $n$ 的全体 $\mathbb{K}_n[x]$.

Proposition

对于两数域 $\mathbb{K}_1$ 和 $\mathbb{K}_2$, 若 $\mathbb{K}_1 \subseteq \mathbb{K}_2$, 则 $\mathbb{K}_2$ 可被看作是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间.

Proposition

零向量唯一.

Proof

$0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2$.

\hfill $\square$

Proposition

负向量唯一.

Proof

设 $\alpha + \beta_1 = 0$, $\alpha + \beta_2 = 0$, 则 $\beta_1 = \beta_1 + (\alpha + \beta_2) = (\beta_1 + \alpha) + \beta_2 = \beta_2$.

\hfill $\square$

Proposition

对任意 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ (向量空间), 有:

[leftmargin=2em]

- 若 $\alpha + \beta = \alpha + \gamma$, 则 $\beta = \gamma$;
- $0 \cdot \alpha = 0$;
- $k \cdot 0 = 0$;
- $(-1)\alpha = -\alpha$;
- 若 $k\alpha = 0$, 则 $\alpha = 0$ 或 $k = 0$.

向量的线性关系

线性表示

Definition: 线性表示

$\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n$, 设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 对于 $\alpha_i, \beta \in V$, 存在 $k_i \in \mathbb{K}$.

Definition: $n$ 维标准单位行向量

$e_1 = (1, 0, \ldots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \ldots, 0)$, $\ldots$, $e_n = (0, 0, \ldots, 1)$.

Proposition

任一 $n$ 维行向量 $\alpha = (a_1, \ldots, a_n)$ 均可由标准单位行向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示, 即 $\alpha = a_1e_1 + \cdots + a_ne_n$.

Theorem

设向量组 $A = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$, $B = \{\beta_1, \ldots, \beta_n\}$, $C = \{\gamma_1, \ldots, \gamma_p\}$ 满足: $A$ 中任一向量都是 $B$ 的线性组合, $B$ 中任一向量都是 $C$ 的线性组合, 则 $A$ 中任一向量都是 $C$ 的线性组合.

Proof

设 $\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\beta_j$, $\beta_j = \sum_{k=1}^{p} b_{jk}\gamma_k$, 则 $\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(\sum_{k=1}^{p} b_{jk}\gamma_k) = \sum_{k=1}^{p}(\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk})\gamma_k$. \hfill $\square$

线性相关与线性无关

Definition: 线性相关

设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上线性空间, 对于 $\alpha_i \in V$, 存在不全为零的 $k_i \in \mathbb{K}$, 使得 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$.

反之, 若不存在, 则称 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

Proposition: $n$ 维标准单位行向量线性无关

$n$ 维标准单位行向量线性无关.

Proof

设 $k_1e_1 + \cdots + k_ne_n = 0$, 则 $(k_1, \ldots, k_n) = 0$, 即 $k_1 = \cdots = k_n = 0$.

\hfill $\square$

Theorem

设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 若 $S$ 是只含一个向量 $\alpha$ 的向量组, 则 $S$ 线性相关的充要条件为 $\alpha = 0$; 又若向量组 $S$ 含有零向量, 则其线性相关.

Proof

由于 $k\alpha = 0$, $k \neq 0$, 则有 $\alpha = 0$, 反之亦然. 而有 $1 \cdot 0 + 0 \cdot \alpha_1 + \cdots + 0 \cdot \alpha_n = 0$.

\hfill $\square$

Theorem

若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性相关, 则任一包含这组向量的向量组必线性相关; 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关, 则从中任取出一组向量必线性无关.

Proof

对前者, 有 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n + 0 \cdot \alpha_{n+1} + \cdots + 0 \cdot \alpha_{n+m} = 0$, 易知 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 不全为 $0$.

对后者, 反证法, 若存在其中一组线性相关, 则 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性相关, 矛盾.

\hfill $\square$

Theorem

设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 是线性空间 $V$ 中一组向量, 则它们线性相关的充要必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合.

Theorem

设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta$ 是线性空间 $V$ 中的向量, 且 $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n$, 则 $\beta$ 的这线性组合表示唯一的充要条件是 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

Proof

设 $\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = h_1\alpha_1 + \cdots + h_n\alpha_n$, 则 $(k_1 - h_1)\alpha_1 + \cdots + (k_n - h_n)\alpha_n = 0$, 由于线性无关, 则 $k_i = h_i$. 反之, 若线性相关, 则存在不全为零的数 $c_1, \ldots, c_n$ 使得 $c_1\alpha_1 + \cdots + c_n\alpha_n = 0$, 则 $\beta$ 还可表示为 $\beta = (c_1 + k_1)\alpha_1 + \cdots + (c_n + k_n)\alpha_n$, 故而若表示唯一, 只能 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关.

\hfill $\square$

Theorem

设两 $n$ 维行向量 $\alpha = (a_1, \ldots, a_n)$, $\beta = (b_1, \ldots, b_n)$, 则 $\alpha, \beta$ 线性相关的充要条件是 $a_i, b_i$ 成比例.

向量组的秩

极大线性无关组

Definition: 极大线性无关组

设 $S$ 是向量族, 若在 $S$ 中存在一组向量 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 满足:

[leftmargin=2em]

- $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关;
- $S$ 中任意一个向量都可以用 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性表示,

则称 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 是向量族 $S$ 的极大线性无关组.

Proposition

设 $S$ 是一个向量组且至少包含一个非零向量, 则 $S$ 的极大无关组一定存在.

Proof

设 $S$ 所含向量的个数为 $k$, 对 $k$ 用归纳法进行证明. 若 $k = 1$, 则 $S$ 由一个非零向量 $\alpha$ 组成, 于是 $\{\alpha\}$ 就是 $S$ 的极大无关组. 一般地, 若 $S$ 中的 $k$ 个向量线性无关, 那么这 $k$ 个向量就构成了 $S$ 的极大无关组. 若这 $k$ 个向量线性相关, 则至少有一个向量是其余向量的线性组合, 不妨设为 $\alpha$. 考虑向量组 $S \setminus \{\alpha\}$, 它所含向量的个数为 $k - 1$ 且至少包含一个非零向量 (否则容易推出 $S$ 只包含零向量), 由归纳假设知 $S \setminus \{\alpha\}$ 存在极大无关组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$. 又 $\alpha$ 也可由 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性表示, 因此 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$ 也是 $S$ 的极大无关组.

\hfill $\square$

Remark

一般来说, 向量族的极大无关组并不唯一.

Lemma

设 $A, B$ 是 $V$ 中两组向量, $A$ 含有 $r$ 个向量, $B$ 含有 $s$ 个向量, 且 $A$ 中每个向量均可用 $B$ 中向量线性表示. 如果 $A$ 中向量线性无关, 则 $r \leq s$.

Proof

我们用反证法. 设 $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\}$, $B = \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s\}$. 假设 $r > s$, 我们来推出矛盾. 由已知, $A$ 中向量 $\alpha_1$ 可由 $B$ 中向量的线性组合来表示, 即存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$, 使 $\alpha_1 = \lambda_1\beta_1 + \lambda_2\beta_2 + \cdots + \lambda_s\beta_s$. 因为 $A$ 中向量线性无关, 故 $\alpha_1 \neq 0$, 从而 $\lambda_i$ 中至少有一个不为零, 不妨假设 $\lambda_1 \neq 0$. 由上式解出 $\beta_1 = \frac{1}{\lambda_1}\alpha_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\beta_2 - \cdots - \frac{\lambda_s}{\lambda_1}\beta_s$. 但对任意的 $\alpha_i$ ($i = 2, 3, \ldots, r$), 已知 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 的线性组合表示, 将上式代入 $\alpha_i$ 的表示式, 则 $\alpha_i$ 可由 $\alpha_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 的线性组合表示. 这样, 我们可将 $B$ 中的向量 $\beta_1$ 换成 $\alpha_1$, 这时 $A$ 中任一向量仍可用 $B$ 中向量的线性组合来表示. 现在我们用归纳法, 设 $B$ 中向量已经换成 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \ldots, \beta_s\}$, 且 $A$ 中任一向量都可以用 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \ldots, \beta_s\}$ 的线性组合表示. 假设 $k < r$, 则 $\alpha_{k+1}$ 可表示为 $\alpha_{k+1} = \mu_1\alpha_1 + \cdots + \mu_k\alpha_k + \mu_{k+1}\beta_{k+1} + \cdots + \mu_s\beta_s$, 其中至少有一个 $\mu_i$ ($i = k+1, \ldots, s$) 不为零. 这是因为若 $\mu_{k+1} = \cdots = \mu_s = 0$, 则 $\alpha_{k+1}$ 可用 $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ 线性表示, 这与 $A$ 中向量线性无关矛盾. 不失一般性, 可设 $\mu_{k+1} \neq 0$. 用与上述相同的论证, 又可将 $\beta_{k+1}$ 换成 $\alpha_{k+1}$, 得到向量组 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_{k+1}; \beta_{k+2}, \ldots, \beta_s\}$, 且 $A$ 中任一向量都可以用这组向量的线性组合表示. 这一事实表明, 我们可将 $A$ 中向量依次换入 $B$ 中. 但 $r > s$, 因此可将 $A$ 中 $s$ 个向量换入 $B$ 中. 不妨设 $B$ 经调换以后的向量组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s\}$, 则 $A$ 中向量 $\alpha_r$ 也可用 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 的线性组合来表示, 从而向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s, \alpha_r\}$ 线性相关, 引出矛盾.

\hfill $\square$

Remark

上述引理的逆否命题概括为: 多'' 若可以用 少'' 来线性表示, 则 ``多'' 线性相关.

Lemma

设 $A, B$ 都是线性无关的向量组, 又 $A$ 中任一向量可用 $B$ 中向量的线性组合来表示, $B$ 中任一向量也可用 $A$ 中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所含的向量个数相等.

Proof

设 $A$ 有 $r$ 个向量, $B$ 有 $s$ 个向量. 由引理得 $r \leq s$. 同理又有 $s \leq r$, 故 $r = s$.

\hfill $\square$

Theorem

设 $A$ 与 $B$ 都是向量族 $S$ 的极大线性无关组, 则 $A$ 与 $B$ 所含的向量个数相等.

向量族的秩

Definition: 秩

向量族 $S$ 的极大无关组所含的向量个数即 $r(S)$ 或 $\operatorname{rank}(S)$.

Definition: 等价向量组

若向量组 $A$ 和 $B$ 可以互相线性表示, 则称这两个向量组等价.

Theorem

等价的向量组有相同的秩.

Proof

设 $A_1$ 和 $B_1$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的极大无关组, $A_1$ 有 $r$ 个向量, $B_1$ 有 $s$ 个向量, 则 $r(A) = r$, $r(B) = s$. 因为 $B_1$ 中向量均可用 $A$ 中向量线性表示, 而 $A$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示, 故 $B_1$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示, 再由引理可得 $s \leq r$. 同理可证 $r \leq s$, 于是 $r = s$.

\hfill $\square$

基与维数

Definition: 基与维数

设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 若在$V$中存在线性无关的向量 $e_1, e_2, \ldots, e_n$, 使得 $V$ 中任一向量均可表示为这组向量的线性组合, 则称 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基, 线性空间 $V$ 称为 $n$ 维线性空间 (具有维数 $n$). 如果不存在有限个向量组成 $V$ 的一组基, 则称 $V$ 是无限维线性空间.

Remark

显然, $V$ 中的一组极大线性无关组就是 $V$ 的一组基, $n$ 维线性空间任一组基都含有 $n$ 个向量. 如果 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, 则记为 $\dim_{\mathbb{K}} V = n$.

Example

$n$ 维标准单位行向量 $\{e_1 = (1, 0, \ldots, 0), e_2 = (0, 1, \ldots, 0), \ldots, e_n = (0, 0, \ldots, 1)\}$ 是 $n$ 维行向量空间 $\mathbb{K}^n$ 的一组基. 因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}^n = n$. 同理, $n$ 维标准单位列向量 $\{e_1', e_2', \ldots, e_n'\}$ 是 $n$ 维列向量空间 $\mathbb{K}_n$ 的一组基, 因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}_n = n$.

Proposition

$n$ 维线性空间 $V$ 中任一超过 $n$ 个向量的向量组必线性相关.

Proof

设 $V$ 的一组基为 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$, 且 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 为 $V$ 中 $m$ ($m > n$) 个向量, 则 $\alpha_i$ 均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 的线性组合来表示, 由引理的逆否命题知 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性相关.

\hfill $\square$

Theorem

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 是 $V$ 中 $n$ 个向量. 若它们适合下列条件之一, 则 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基:

[leftmargin=2em]

- $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性无关;
- $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性表示.

Proof

(1) 因为 $V$ 中任意 $n + 1$ 个向量一定线性相关, 故对 $V$ 中任一向量 $v$, 向量组 $e_1, e_2, \ldots, e_n, v$ 线性相关. 于是存在不全为零的数 $a_1, a_2, \ldots, a_n, c$, 使 $a_1e_1 + a_2e_2 + \cdots + a_ne_n + cv = 0$, 其中 $c \neq 0$. 事实上若 $c = 0$, 因为 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 线性无关, 将导致 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = c = 0$, 与假设矛盾. 由 $c \neq 0$ 可得 $v = -\frac{a_1}{c}e_1 - \frac{a_2}{c}e_2 - \cdots - \frac{a_n}{c}e_n$. 因此 $v$ 可用向量组 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 线性表示, 即 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.

(2) 不妨设 $\{e_1, e_2, \ldots, e_r\}$ 是 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 的极大无关组, 其中 $r \leq n$. 知 $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \ldots, e_r$ 线性表示, 因此 $\{e_1, e_2, \ldots, e_r\}$ 是 $V$ 的一组基. 特别地, $r = \dim V = n$, 即 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.

\hfill $\square$

Theorem: 基扩张定理

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 是 $V$ 中 $m$ ($m < n$) 个线性无关的向量, 又假设 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基, 则必可在 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 中选出 $n - m$ 个向量, 使之和 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 一起组成 $V$ 的一组基.

Proof

将 $e_i$ ($i = 1, \ldots, n$) 依次放入 $\{v_1, v_2, \ldots, v_m\}$, 则必有一个 $e_i$, 使 $v_1, v_2, \ldots, v_m, e_i$ 线性无关. 这是因为若任一 $e_i$ 加入 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 后线性相关, 则每个 $e_i$ 可用 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 线性表示, 将和引理的结论矛盾. 现不妨设 $i = m + 1$. 若 $m + 1 < n$, 又可从 $e_1, e_2, \ldots, e_n$ 中找到一个向量, 加入 $\{v_1, v_2, \ldots, v_m, e_{m+1}\}$ 后仍线性无关. 不断这样做下去, 便可将 $v_1, v_2, \ldots, v_m$ 扩张成为 $V$ 的一组基.

\hfill $\square$

Remark

$n$ 维线性空间 $V$ 中任意 $m$ ($m < n$) 个线性无关的向量均可扩张为 $V$ 的一组基, 或 $V$ 的任意一个子空间的基均可扩张为 $V$ 的一组基.

矩阵的秩

矩阵的行秩与列秩

Definition: 行秩与列秩

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, 则 $A$ 的 $m$ 个行向量的秩称为 $A$ 的行秩, $A$ 的 $n$ 个列向量的秩称为 $A$ 的列秩.

Theorem

矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变.

Proof

显然矩阵的行秩在初等行变换下不变, 列秩在初等列变换下不变. 只需要证明列秩在初等行变换下不变, 行秩在初等列变换下不变. 由于 $A$ 的初等行变换等价于用一个初等矩阵左乘以 $A$, 我们只需证明对任一初等矩阵 $Q$, $QA$ 与 $A$ 的列秩相等就可以了. 现把 $A$ 写成列分块的形状: $A = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)$, 其中 $\beta_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 个列向量. 由分块矩阵的乘法得 $QA = (Q\beta_1, Q\beta_2, \ldots, Q\beta_n)$. 设 $A$ 的列向量的极大无关组为 $\beta_{j_1}, \ldots, \beta_{j_r}$, 现在我们证明 $\{Q\beta_{j_1}, \ldots, Q\beta_{j_r}\}$ 是 $QA$ 的列向量的极大无关组. 先证明 $Q\beta_{j_1}, \ldots, Q\beta_{j_r}$ 线性无关. 设有 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r \in \mathbb{K}$, 使 $\lambda_1 Q\beta_{j_1} + \lambda_2 Q\beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r Q\beta_{j_r} = 0$, 则 $Q(\lambda_1\beta_{j_1} + \lambda_2\beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r\beta_{j_r}) = 0$. 但 $Q$ 是非异阵, 在上式两边左乘 $Q^{-1}$ 即得 $\lambda_1\beta_{j_1} + \lambda_2\beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r\beta_{j_r} = 0$. 再由 $\beta_{j_1}, \ldots, \beta_{j_r}$ 线性无关即得 $\lambda_1 = \cdots = \lambda_r = 0$. 这就证明了 $Q\beta_{j_1}, \ldots, Q\beta_{j_r}$ 是一组线性无关的向量. 再证明任一 $Q\beta_j$ 均可表示为 $Q\beta_{j_1}, \ldots, Q\beta_{j_r}$ 的线性组合. 由于 $\beta_{j_1}, \ldots, \beta_{j_r}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组, 故 $\beta_j = \mu_1\beta_{j_1} + \mu_2\beta_{j_2} + \cdots + \mu_r\beta_{j_r}$. 上式两边左乘 $Q$ 即得 $Q\beta_j = \mu_1 Q\beta_{j_1} + \mu_2 Q\beta_{j_2} + \cdots + \mu_r Q\beta_{j_r}$. 由上面的论证知道 $A$ 与 $QA$ 的列向量的极大无关组都有相同个数的向量, 因此 $A$ 与 $QA$ 的列秩相等. 同理可证明 $A$ 的行秩在初等列变换下不变.

\hfill $\square$

Corollary

任一矩阵的行秩等于列秩.

Proof

任一矩阵 $A$ 经初等变换后均可变成下列分块对角阵: $B = \begin{pmatrix} I_r & O

O & O \end{pmatrix}$, 其中$B$是分块矩阵,$I_r$为$r$阶单位阵. 显然,$B$的行秩与列秩都等于$r$, 因此$A$的行秩与列秩都等于$r$.

\hfill $\square$

Remark

矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩. 矩阵 $A$ 的秩用 $r(A)$ 或 $\operatorname{rank}(A)$ 来表示.

Corollary

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵且 $A$ 的第 $j_1, \ldots, j_r$ 列向量是 $A$ 的列向量的极大无关组, 则对任意的 $m$ 阶非异阵 $Q$, 矩阵 $QA$ 的第 $j_1, \ldots, j_r$ 列向量也是 $QA$ 的列向量的极大无关组.

Proof

非异阵 $Q$ 是若干个初等矩阵的乘积, 由定理的证明即得.

\hfill $\square$

Proposition

设 $A$ 是阶梯形矩阵, 则 $A$ 的秩等于其非零行的个数, 且阶梯点所在的列向量是 $A$ 的列向量的极大无关组.

Proof

设阶梯形矩阵 $A$ 有 $r$ 个非零行, 其阶梯点依次是 $a_{1k_1}, a_{2k_2}, \ldots, a_{rk_r}$. 先用第三类初等列变换以及阶梯点上的元素依次消去同行的其他非零元素; 再用第二类初等列变换将阶梯点上的元素全部变成 $1$; 最后用列对换依次将 $r$ 个阶梯点换到 $(1,1), (2,2), \ldots, (r,r)$ 位置, 从而得到相抵标准型: $\begin{pmatrix} I_r & O

O & O \end{pmatrix}$. 由定理 3.6.1 可得$r(A) = r$.

对于第二个结论, 将 $r$ 个阶梯点所在的列向量取出, 拼成一个新的矩阵: $\begin{pmatrix} a_{1k_1} & \cdots & \cdots & \cdots

0 & a_{2k_2} & \cdots & \cdots

\vdots & \vdots & & \vdots

0 & 0 & \cdots & a_{rk_r}

& O & \end{pmatrix}$. 利用同样的方法可将此矩阵化为相抵标准型:$\begin{pmatrix} I_r

O \end{pmatrix}$. 因此$r$个阶梯点所在的列向量组的秩等于$r$, 即为$A$的列秩, 从而阶梯点所在的列向量是$A$ 的列向量的极大无关组.

\hfill $\square$

Remark

一个矩阵秩的方法,用初等行变换将一个矩阵 $A$ 化为阶梯形矩阵 $B$, 则矩阵 $B$ 的非零行的个数就是矩阵 $A$ 的秩.

Corollary

对任意一个秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵 $A$, 总存在 $m$ 阶非异阵 $P$ 和 $n$ 阶非异阵 $Q$, 使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & O

O & O \end{pmatrix}$.

Proof

非异阵是若干初等矩阵的乘积,由此可化为其最简相抵标准型.

\hfill $\square$

Corollary

任一矩阵 $A$ 的转置 $A'$ 与 $A$ 有相同的秩.

Corollary

任一矩阵与非异阵相乘, 其秩不变.

Proof

由于任一非异阵均可化为有限个初等矩阵的积.

\hfill $\square$

Definition: 满秩阵

若 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩等于 $n$, 则称 $A$ 为满秩阵.

Remark

根据矩阵秩的定义, 满秩条件等价于 $A$ 的 $n$ 个行向量线性无关, 也等价于 $A$ 的 $n$ 个列向量线性无关.

Theorem

$n$ 阶方阵 $A$ 为非异阵的充分必要条件是 $A$ 为满秩阵.

Proof

若 $A$ 为非异阵, 则由推论可得 $r(A) = r(AI_n) = r(I_n) = n$, 即 $A$ 为满秩阵. 若 $A$ 为满秩阵, 则由推论知 $A$ 经过初等变换可化为单位阵 $I_n$, 从而 $A$ 为非异阵.

\hfill $\square$

Remark

由此非异阵又称为满秩阵,充要条件是矩阵行列式值不为0.

Corollary

两个 $m \times n$ 矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩.

Proof

设矩阵 $A, B$ 秩都等于 $r$, 则它们都等价于 $\begin{pmatrix} I_r & O

O & O \end{pmatrix}$式的矩阵, 因此$A$和$B$等价. 反之, 由于秩在初等变换下不变, 从$A, B$ 等价可知它们的秩相同.

子式与秩

Definition: $k$ 阶子式

设 $A = (a_{ij})$ 是一个 $m \times n$ 矩阵. 任取 $A$ 的 $k$ 行与 $k$ 列, 位于这些行与这些列的交叉处的元素按原来的顺序构成一个 $k$ 阶行列式, 称为 $A$ 的一个$k$ 阶子式.

Theorem

设 $m \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$ 有一个 $r$ 阶子式不等于零, 且 $A$ 中任意 $r+1$ 阶子式 (如存在) 都等于零, 则 $r(A) = r$. 反之, 若 $r(A) = r$, 则 $A$ 中必有一个 $r$ 阶子式不等于零, 而所有 $r+1$ 阶子式都等于零.

Proof

设 $r(A) = r$, 则 $A$ 中任意 $r+1$ 行都线性相关, 可知 $A$ 的任意 $r+1$ 阶子式的行向量也线性相关, 容易知道其任意$r=1$阶子式的行向量也线性相关,再由推论可知这些 $r+1$ 阶子式的值均为零. 再证明 $A$ 至少有一个 $r$ 阶子式不等于零. 因为 $A$ 的秩为 $r$, $A$ 中有 $r$ 行线性无关. 不失一般性, 设为前 $r$ 行. 把这 $r$ 行取出得到一个矩阵: $B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}

\vdots & \vdots & & \vdots

a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rn} \end{pmatrix}$. 显然$r(B) = r$, 因此$B$有$r$列线性无关, 同样不妨设为前$r$列, 则由$B$的前$r$列组成的行列式不等于零, 即$A$有一个$r$ 阶子式不等于零.

反之, 设 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为零而 $A$ 的所有 $r+1$ 阶子式全等于零. 这时由 Laplace 定理可知, $A$ 的所有高于 $r$ 阶的子式均等于零. 设 $r(A) = t$, 则由前面的论述可知 $t \geq r$, 否则 $A$ 的 $r$ 阶子式无一不为零, 但 $t$ 也不能大于 $r$, 否则 $A$ 就要有一个大于 $r$ 阶的子式不等于零而与假设矛盾, 因此 $t = r$.

\hfill $\square$

秩的不等式与计算

Proposition

设 $C = \begin{pmatrix} A & O

O & B \end{pmatrix}$, 则$r(C) = r(A) + r(B)$.

Proof

设 $A, B$ 的秩分别为 $r_1, r_2$, 则存在可逆阵 $P_1, Q_1$ 和可逆阵 $P_2, Q_2$, 使 $P_1AQ_1 = \begin{pmatrix} I_{r_1} & O

O & O \end{pmatrix}$,$P_2BQ_2 = \begin{pmatrix} I_{r_2} & O

O & O \end{pmatrix}$. 于是

$ \begin{pmatrix} P_1 & O

O & P_2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} A & O

O & B \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} Q_1 & O

O & Q_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} P_1AQ_1 & O

O & P_2BQ_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} I_{r_1} & O & O & O

O & O & O & O

O & O & I_{r_2} & O

O & O & O & O \end{pmatrix}.

$因此$r(C) = r_1 + r_2$.

\hfill $\square$

Proposition

$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$.

Proof

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $B$ 是 $n \times s$ 矩阵. 将矩阵 $B$ 按列分块, $B = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s)$, 则 $AB = (A\beta_1, A\beta_2, \ldots, A\beta_s)$. 若 $B$ 的列向量的极大无关组为 $\{\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \ldots, \beta_{j_r}\}$, 则 $B$ 的任一列向量 $\beta_j$ 可用 $\{\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \ldots, \beta_{j_r}\}$ 线性表示. 于是任一 $A\beta_j$ 也可用 $\{A\beta_{j_1}, A\beta_{j_2}, \ldots, A\beta_{j_r}\}$ 来线性表示. 因此向量组 $\{A\beta_1, A\beta_2, \ldots, A\beta_s\}$ 的秩不超过 $r$, 即 $r(AB) \leq r(B)$. 同理, 对矩阵 $A$ 用行分块的方法可以证明 $r(AB) \leq r(A)$.

\hfill $\square$

Proposition

$n$ 阶矩阵 $A$ 是幂等阵 (即 $A^2 = A$) 的充分必要条件是 $r(A) + r(I_n - A) = n$.

Proof

在下列矩阵的分块初等变换中矩阵的秩保持不变:

$> \begin{pmatrix} A & O

O & I - A \end{pmatrix}

\to \begin{pmatrix} A & A

O & I - A \end{pmatrix}

\to \begin{pmatrix} A & A

A & I \end{pmatrix}

\to \begin{pmatrix} A - A^2 & A

O & I \end{pmatrix}

\to \begin{pmatrix} A - A^2 & O

O & I \end{pmatrix}.

$

因此 $r\begin{pmatrix} A & O

O & I - A \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A - A^2 & O

O & I \end{pmatrix}$, 即$r(A) + r(I - A) = r(A - A^2) + n$. 由此即得结论.

\hfill $\square$

坐标向量

坐标向量

Proposition

设 $n$ 维线性空间的一组基为 $\{e_1, \ldots, e_n\}$, 且 $\alpha = a_1e_1 + \cdots + a_ne_n = b_1e_1 + \cdots + b_ne_n$, 则 $a_i = b_i$, $i = 1, 2, \ldots, n$.

Proof

有 $(a_1 - b_1)e_1 + \cdots + (a_n - b_n)e_n = 0$, 而 $e_1, \ldots, e_n$ 线性无关, 故 $a_i = b_i$.

\hfill $\square$

Definition: 坐标向量

上述中 $\alpha$ 可被 $e_1, \ldots, e_n$ 的线性组合唯一表示, $(a_1, \ldots, a_n)$ 称为 $\alpha$ 的坐标向量.

同构

Definition: 同构

$V \cong U$. 设数域 $\mathbb{K}$ 上两线性空间 $V, U$, 如果存在 $V$ 到 $U$ 上的一个一一对应的映射 $\varphi$, 使得对任意 $\alpha, \beta \in V$, $k \in \mathbb{K}$ 均有: $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$, $\varphi(k\alpha) = k\varphi(\alpha)$.

Proposition

数域 $\mathbb{K}$ 上任一 $n$ 维线性空间 $V$ 均与 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行（列）向量空间同构.

Proposition

设 $\varphi: V \to U$ 为线性空间的同构, 则有:

[leftmargin=2em]

- $\varphi(0) = 0$;
- 经过 $\varphi$ 映射的向量组的线性相关性或线性无关性保持不变;
- 同构关系是一个等价关系, 即 $V \cong V$; 若 $V \cong U$, 则 $U \cong V$; 若 $V \cong U$, $U \cong W$, 则 $V \cong W$;
- 数域 $\mathbb{K}$ 上有限维线性空间同构的充要条件是其具有相同的维数.

Proof

(1) $\varphi(0) = \varphi(0 + 0) = \varphi(0) + \varphi(0)$, 则 $\varphi(0) = 0$.

(2) 由 $\varphi(k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n) = k_1\varphi(\alpha_1) + \cdots + k_n\varphi(\alpha_n)$ 和 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ 及 $\varphi(0) = 0$ 得.

(3) 显然有 $\varphi(\alpha) = \alpha$, 取恒同映射; 设 $\varphi(\alpha) = x$, $\varphi(\beta) = y$, $\alpha, \beta \in V$, 则有 $\alpha = \varphi^{-1}(x)$, $\beta = \varphi^{-1}(y)$, 且 $\varphi(\alpha + \beta) = x + y$, $\varphi(k\alpha) = kx$, 于是 $\varphi^{-1}(x + y) = \alpha + \beta = \varphi^{-1}(x) + \varphi^{-1}(y)$, $\varphi^{-1}(kx) = k\alpha = k\varphi^{-1}(x)$; 设 $\varphi: V \to U$, $\psi: U \to W$, 则 $\xi = \psi \circ \varphi: V \to W$, 对 $\alpha \in V$, 有 $\xi(\alpha) = \psi(\varphi(\alpha))$, 则 $\xi(\alpha + \beta) = \psi(\varphi(\alpha + \beta)) = \psi(\varphi(\alpha) + \varphi(\beta)) = \psi(\varphi(\alpha)) + \psi(\varphi(\beta)) = \xi(\alpha) + \xi(\beta)$, $\xi(k\alpha) = \psi(\varphi(k\alpha)) = k\psi(\varphi(\alpha)) = k\xi(\alpha)$.

(4) 设 $V$ 和 $U$, $\dim V = n$, $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 为 $V$ 的一组基, 则 $\{\varphi(e_1), \ldots, \varphi(e_n)\}$ 为 $U$ 的一组基, 故 $\dim U = n = \dim V$. 反之, 若 $\dim U = \dim V = n$, 则 $U, V$ 皆同构于 $\mathbb{K}^n$, 则 $V$ 和 $U$ 亦同构.

\hfill $\square$

Proposition

设 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 是线性空间 $V$ 的基, $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $V$ 中向量, 它们在这组基下的坐标向量依次为 $\widetilde{\alpha}_1, \ldots, \widetilde{\alpha}_m$, 则向量组 $\alpha_i$ 和向量组 $\widetilde{\alpha}_i$ 具有相同的秩.

Proof

同构映射将 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$ 的极大无关组映为 $\{\widetilde{\alpha}_1, \ldots, \widetilde{\alpha}_m\}$ 的极大无关组, 故秩相同.

\hfill $\square$

基变换和过渡矩阵

基变换和过渡矩阵

Definition: 过渡矩阵

设数域 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V$ 的两组基 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 和 $\{f_1, f_2, \ldots, f_n\}$, 且它们可以相互线性表示, 即 $f_i = a_{i1}e_1 + a_{i2}e_2 + \cdots + a_{in}e_n$, $e_i = b_{i1}f_1 + b_{i2}f_2 + \cdots + b_{in}f_n$.

(1) 从基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 到基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 的过渡矩阵:

$> A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}

a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}

\vdots & \vdots & & \vdots

a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.

$

(2) 从基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 到基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 的过渡矩阵:

$> B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1}

b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{n2}

\vdots & \vdots & & \vdots

b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}.

$

Theorem

设 $\alpha = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2 + \cdots + \lambda_ne_n = \mu_1f_1 + \mu_2f_2 + \cdots + \mu_nf_n$, 有

$> \begin{pmatrix} \lambda_1

\lambda_2

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \mu_1

\mu_2

\vdots

\mu_n \end{pmatrix}

\quad \text{和} \quad \begin{pmatrix} \mu_1

\mu_2

\vdots

\mu_n \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} \lambda_1

\lambda_2

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix}.

$

并且, $A, B$ 互为逆阵, 即 $B = A^{-1}$.

Proof

有 $\alpha = \mu_1(\sum_{j=1}^{n} a_{1j}e_j) + \cdots + \mu_n(\sum_{j=1}^{n} a_{nj}e_j) = (\sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{i1})e_1 + \cdots + (\sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{in})e_n = \lambda_1e_1 + \cdots + \lambda_ne_n$,

则 $\lambda_j = \sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{ij}$.

而由 $\begin{pmatrix} \lambda_1

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} \mu_1

\vdots

\mu_n \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} \mu_1

\vdots

\mu_n \end{pmatrix} = B\begin{pmatrix} \lambda_1

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix}$有$\begin{pmatrix} \lambda_1

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix} = AB\begin{pmatrix} \lambda_1

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix}$,$\lambda_i$取任意常数, 则$AB = I_n$.

\hfill $\square$

Theorem

设另有一个基 $\{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$, 从基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 到 $\{g_1, \ldots, g_n\}$ 的过渡矩阵为 $C$, 并设 $\alpha = \lambda_1e_1 + \cdots + \lambda_ne_n = \mu_1f_1 + \cdots + \mu_nf_n = \xi_1g_1 + \cdots + \xi_ng_n$, 则 $AC$ 是从基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 到基 $\{g_1, \ldots, g_n\}$ 的过渡矩阵, 即

$> \begin{pmatrix} \lambda_1

\lambda_2

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix} = AC \begin{pmatrix} \xi_1

\xi_2

\vdots

\xi_n \end{pmatrix}.

$

Proof

由 $\begin{pmatrix} \lambda_1

\vdots

\lambda_n \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} \mu_1

\vdots

\mu_n \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} \mu_1

\vdots

\mu_n \end{pmatrix} = C\begin{pmatrix} \xi_1

\vdots

\xi_n \end{pmatrix}$ 可得.

\hfill $\square$

子空间

线性子空间

Definition: $V$ 的线性子空间

一个非空子集 $V_0 \subseteq V$, 其中 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且对任意的 $\alpha, \beta \in V_0$ 和 $k \in \mathbb{K}$, 总有 $\alpha + \beta \in V_0$及$k\alpha \in V_0.$

Proposition

$V$ 的线性子空间 $V_0$ 在 $V$ 的加法及数乘下是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间.

Definition: 线性空间 $V$ 的子空间$V_0$分类

[leftmargin=1.5em]

- **平凡子空间** (必有的): $\{0\}$ 和 $V$ 自身.
- **非平凡子空间**: $\Rightarrow 0 < \dim V_0 < \dim V = n$.

Proof

易知 $V_0$ 的维数必不大于 $n$. 又若 $\dim V_0 = n$, 则 $V_0$ 有一组由 $n$ 个向量组成的基, 这也是 $V$ 的一组基, 从而 $V_0 = V$. 而 $V_0$ 又非平凡, 故 $\dim V_0 < n$.

\hfill $\square$

子空间的交与和

Definition: 子空间的交与和

设 $V_i$ 是 $V$ 的子空间 ($i = 1, 2, \ldots, m$).

子空间的交:

$> V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_m = {, \alpha \mid \alpha \in V_i,\ i = 1, 2, \ldots, m ,}

$

子空间的和:

$> V_1 + V_2 + \cdots + V_m = {, \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \mid \alpha_i \in V_i,\ i = 1, 2, \ldots, m ,}

$

Property

子空间的交与和都是 $V$ 的子空间.

由 $S$ 张成的子空间

Definition: 由 $S$ 张成的子空间

一个线性空间 $V$ 的子集 $L(S)$, 它由 $S$ 中向量所有可能的线性组合构成, 这里$S \subseteq V$.

Proposition

$L(S)$ 是 $V$ 的一个子空间.

Theorem: 由 $S$ 张成的子空间

设线性空间 $V$, $S \subseteq V$, 和 $L(S)$, 则有:

[leftmargin=2em]

- $S \subseteq L(S)$, 且若 $V_0$ 是包含集合 $S$ 的子空间, 则 $L(S) \subseteq V_0$, 即 $L(S)$ 是含 $S$ 的 $V$ 的最小子空间;
- $L(S)$ 的维数等于 $S$ 中极大无关组所含向量的个数, 且若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $S$ 的极大无关组, 则 $L(S) = L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$.

Proof

(1) 显然 $S \subseteq L(S)$. 而 $S \subseteq V_0$, 每个 $\beta \in L(S)$ 均可表示为 $S$ 中向量的线性组合, 故 $\beta \in V_0$.

(2) 由于 $\alpha_i \in S$, 显有 $L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m) \subseteq L(S)$. 而 $S$ 中任一向量可表示为 $\alpha_i$ 的线性组合, 则 $S \subseteq L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 因此 $L(S) \subseteq L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 从而 $L(S) = L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 维数为 $m$.

\hfill $\square$

Theorem

设 $V_i$ ($i = 1, \ldots, m$) 是 $V$ 的子空间, 则

$> L(V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_m) = V_1 + V_2 + \cdots + V_m.

$

Proof

对于二元情形, 对于 $\alpha_1 \in V_1$, $\alpha_2 \in V_2$, $\alpha_1 + \alpha_2 \in L(V_1 \cup V_2)$, 故 $V_1 + V_2 \subseteq L(V_1 \cup V_2)$.

又由于 $V_1 \subseteq V_1 + V_2$, $V_2 \subseteq V_1 + V_2$ ($V$ 必有 $0$), 则 $V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$, 从而 $L(V_1 \cup V_2) \subseteq V_1 + V_2$, 故 $L(V_1 \cup V_2) = V_1 + V_2$.

\hfill $\square$

维数公式

Theorem: 维数公式

设 $V_1, V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 则

$> \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).

$

Proof

设 $\dim V_1 = n_1$, $\dim V_2 = n_2$, $\dim(V_1 \cap V_2) = m$. 取 $V_1 \cap V_2$ 的一组基, 由于 $V_1 \cap V_2$ 是 $V_1$ 和 $V_2$ 的子空间, 故可添上 $\alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n_1}$ 和 $\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}$ 使其成为 $V_1, V_2$ 的基. 则 $V_1 + V_2$ 中向量可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n_1}, \beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}$ 表示. 假设 $\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_{m+1} \alpha_{m+1} + \cdots + \lambda_{n_1} \alpha_{n_1} + \mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} = 0,$ 即 $\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_{n_1} \alpha_{n_1} = -(\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2})$. 左端属于 $V_1$, 右端属于 $V_2$, 故 $\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} \in V_1 \cap V_2$, 即存在 $\xi_i \in \mathbb{K}$, 使得 $\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} = \xi_1 \alpha_1 + \cdots + \xi_m \alpha_m.$ 由于 $\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}, \alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $V_2$ 的基, 故而 $\mu_{m+1} = \cdots = \mu_{n_2} = \xi_1 = \cdots = \xi_m = 0$, 从而 $\alpha_1, \ldots, \alpha_{n_1}$ 线性无关得 $\lambda_1 = \cdots = \lambda_{n_1} = 0$. 于是 $\alpha_i, \beta_j$ 都线性无关, 即有 $\dim(V_1 + V_2) = n_1 + n_2 - m$.

\hfill $\square$

子空间的直和

Definition: 直和

$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m = V_1 + V_2 + \cdots + V_m$, 其中$V_i$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 如果对一切 $i = 1, \ldots, m$ 时, $V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = 0.$

Theorem: 子空间的直和

设 $V_1, \ldots, V_m$ 是线性空间 $V$ 的子空间, $V_0 = V_1 + \cdots + V_m$, 则以下命题等价:

[leftmargin=2em]

- $V_0 = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$, 是直和;
- 对任意 $2 \leq i \leq m$, 有 $V_i \cap (V_1 + V_2 + \cdots + V_{i-1}) = 0$;
- $\dim(V_1 + \cdots + V_m) = \dim V_1 + \cdots + \dim V_m$;
- $V_1, V_2, \ldots, V_m$ 的一组基可以拼成 $V_0$ 的一组基;
- 若 $\alpha \in V_0$ 且 $\alpha = v_1 + v_2 + \cdots + v_m = u_1 + u_2 + \cdots + u_m$, 其中 $v_i, u_i \in V_i$, 则有 $u_i = v_i$.

Proof

(1) $\Rightarrow$ (2): 显然.

(2) $\Rightarrow$ (3): 由 $\dim(V_1 + \cdots + V_i) = \dim(V_1 + \cdots + V_{i-1}) + \dim V_i$, 依次推得.

(3) $\Rightarrow$ (4): 易见 $V_1, \ldots, V_m$ 基的向量总个数等于 $V_0$ 的维数, 且 $V_0$ 可以被 $V_i$ 的基向量线性表示, 从而可拼为其基.

考虑弱命题 (5'): 若 $0 = v_1 + v_2 + \cdots + v_m$, 则 $v_i = 0$. 显然 (5) 与 (5') 等价.

(4) $\Rightarrow$ (5): 把 $v_i$ 用 $V_i$ 的基向量表示出来代入 $0 = v_1 + \cdots + v_m$ 式子, 则由于可拼成 $V_0$ 的基向量, 则由线性无关, 得知各 $e_j$ 系数为 $0$, 从而 $v_i = 0$.

(5') $\Rightarrow$ (1): 任取 $v \in V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m)$, 则 $v = v_1 + \cdots + v_{i-1} + v_{i+1} + \cdots + v_m$. 于是 $v_1 + \cdots + v_{i-1} + (-v) + v_{i+1} + \cdots + v_m$, 于是 $v = 0$. 且 $v \in V_i$, 故对任意 $1 \leq i \leq m$, 有 $V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = 0$.

\hfill $\square$