第7章 子空间

线性子空间

Definition: $V$ 的线性子空间

一个非空子集 $V_0 \subseteq V$, 其中 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且对任意的 $\alpha, \beta \in V_0$ 和 $k \in \mathbb{K}$, 总有 $\alpha + \beta \in V_0$ 及 $k\alpha \in V_0.$

Proposition

$V$ 的线性子空间 $V_0$ 在 $V$ 的加法及数乘下是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间.

Definition: 线性空间 $V$ 的子空间$V_0$分类

• 平凡子空间 (必有的): $\{0\}$ 和 $V$ 自身.
• 非平凡子空间: $\Rightarrow 0 < \dim V_0 < \dim V = n$.

Proof

易知 $V_0$ 的维数必不大于 $n$. 又若 $\dim V_0 = n$, 则 $V_0$ 有一组由 $n$ 个向量组成的基, 这也是 $V$ 的一组基, 从而 $V_0 = V$. 而 $V_0$ 又非平凡, 故 $\dim V_0 < n$.

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子空间的交与和

Definition: 子空间的交与和

设 $V_i$ 是 $V$ 的子空间 ($i = 1, 2, \ldots, m$).

子空间的交:

$$V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_m = \{\, \alpha \mid \alpha \in V_i,\ i = 1, 2, \ldots, m \,\}$$

子空间的和:

$$V_1 + V_2 + \cdots + V_m = \{\, \alpha_1 + \cdots + \alpha_m \mid \alpha_i \in V_i,\ i = 1, 2, \ldots, m \,\}$$

Property

子空间的交与和都是 $V$ 的子空间.

由 $S$ 张成的子空间

Definition: 由 $S$ 张成的子空间

一个线性空间 $V$ 的子集 $L(S)$, 它由 $S$ 中向量所有可能的线性组合构成, 这里$S \subseteq V$.

Proposition

$L(S)$ 是 $V$ 的一个子空间.

Theorem: 由 $S$ 张成的子空间

设线性空间 $V$, $S \subseteq V$, 和 $L(S)$, 则有:

1. $S \subseteq L(S)$, 且若 $V_0$ 是包含集合 $S$ 的子空间, 则 $L(S) \subseteq V_0$, 即 $L(S)$ 是含 $S$ 的 $V$ 的最小子空间;
2. $L(S)$ 的维数等于 $S$ 中极大无关组所含向量的个数, 且若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $S$ 的极大无关组, 则 $L(S) = L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$.

Proof

(1) 显然 $S \subseteq L(S)$. 而 $S \subseteq V_0$, 每个 $\beta \in L(S)$ 均可表示为 $S$ 中向量的线性组合, 故 $\beta \in V_0$.

(2) 由于 $\alpha_i \in S$, 显有 $L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m) \subseteq L(S)$. 而 $S$ 中任一向量可表示为 $\alpha_i$ 的线性组合, 则 $S \subseteq L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 因此 $L(S) \subseteq L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 从而 $L(S) = L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$, 维数为 $m$.

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Theorem

设 $V_i$ ($i = 1, \ldots, m$) 是 $V$ 的子空间, 则

$$L(V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_m) = V_1 + V_2 + \cdots + V_m.$$

Proof

对于二元情形, 对于 $\alpha_1 \in V_1$, $\alpha_2 \in V_2$, $\alpha_1 + \alpha_2 \in L(V_1 \cup V_2)$, 故 $V_1 + V_2 \subseteq L(V_1 \cup V_2)$.

又由于 $V_1 \subseteq V_1 + V_2$, $V_2 \subseteq V_1 + V_2$ ($V$ 必有 $0$), 则 $V_1 \cup V_2 \subseteq V_1 + V_2$, 从而 $L(V_1 \cup V_2) \subseteq V_1 + V_2$, 故 $L(V_1 \cup V_2) = V_1 + V_2$.

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维数公式

Theorem: 维数公式

设 $V_1, V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 则

$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).$$

Proof

设 $\dim V_1 = n_1$, $\dim V_2 = n_2$, $\dim(V_1 \cap V_2) = m$. 取 $V_1 \cap V_2$ 的一组基, 由于 $V_1 \cap V_2$ 是 $V_1$ 和 $V_2$ 的子空间, 故可添上 $\alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n_1}$ 和 $\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}$ 使其成为 $V_1, V_2$ 的基. 则 $V_1 + V_2$ 中向量可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_{n_1}, \beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}$ 表示. 假设 $\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_{m+1} \alpha_{m+1} + \cdots + \lambda_{n_1} \alpha_{n_1} + \mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} = 0,$ 即 $\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_{n_1} \alpha_{n_1} = -(\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2})$. 左端属于 $V_1$, 右端属于 $V_2$, 故 $\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} \in V_1 \cap V_2$, 即存在 $\xi_i \in \mathbb{K}$, 使得 $\mu_{m+1} \beta_{m+1} + \cdots + \mu_{n_2} \beta_{n_2} = \xi_1 \alpha_1 + \cdots + \xi_m \alpha_m.$ 由于 $\beta_{m+1}, \ldots, \beta_{n_2}, \alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $V_2$ 的基, 故而 $\mu_{m+1} = \cdots = \mu_{n_2} = \xi_1 = \cdots = \xi_m = 0$, 从而 $\alpha_1, \ldots, \alpha_{n_1}$ 线性无关得 $\lambda_1 = \cdots = \lambda_{n_1} = 0$. 于是 $\alpha_i, \beta_j$ 都线性无关, 即有 $\dim(V_1 + V_2) = n_1 + n_2 - m$.

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子空间的直和

Definition: 直和

$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m = V_1 + V_2 + \cdots + V_m$, 其中$V_i$ 是线性空间 $V$ 的子空间, 如果对一切 $i = 1, \ldots, m$ 时, $V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = 0.$

Theorem: 子空间的直和

设 $V_1, \ldots, V_m$ 是线性空间 $V$ 的子空间, $V_0 = V_1 + \cdots + V_m$, 则以下命题等价:

1. $V_0 = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$, 是直和;
2. 对任意 $2 \leq i \leq m$, 有 $V_i \cap (V_1 + V_2 + \cdots + V_{i-1}) = 0$;
3. $\dim(V_1 + \cdots + V_m) = \dim V_1 + \cdots + \dim V_m$;
4. $V_1, V_2, \ldots, V_m$ 的一组基可以拼成 $V_0$ 的一组基;
5. 若 $\alpha \in V_0$ 且 $\alpha = v_1 + v_2 + \cdots + v_m = u_1 + u_2 + \cdots + u_m$, 其中 $v_i, u_i \in V_i$, 则有 $u_i = v_i$.

Proof

(1) $\Rightarrow$ (2): 显然.

(2) $\Rightarrow$ (3): 由 $\dim(V_1 + \cdots + V_i) = \dim(V_1 + \cdots + V_{i-1}) + \dim V_i$, 依次推得.

(3) $\Rightarrow$ (4): 易见 $V_1, \ldots, V_m$ 基的向量总个数等于 $V_0$ 的维数, 且 $V_0$ 可以被 $V_i$ 的基向量线性表示, 从而可拼为其基.

考虑弱命题 (5'): 若 $0 = v_1 + v_2 + \cdots + v_m$, 则 $v_i = 0$. 显然 (5) 与 (5') 等价.

(4) $\Rightarrow$ (5): 把 $v_i$ 用 $V_i$ 的基向量表示出来代入 $0 = v_1 + \cdots + v_m$ 式子, 则由于可拼成 $V_0$ 的基向量, 则由线性无关, 得知各 $e_j$ 系数为 $0$, 从而 $v_i = 0$.

(5') $\Rightarrow$ (1): 任取 $v \in V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m)$, 则 $v = v_1 + \cdots + v_{i-1} + v_{i+1} + \cdots + v_m$. 于是 $v_1 + \cdots + v_{i-1} + (-v) + v_{i+1} + \cdots + v_m$, 于是 $v = 0$. 且 $v \in V_i$, 故对任意 $1 \leq i \leq m$, 有 $V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i-1} + V_{i+1} + \cdots + V_m) = 0$.

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