第6章 基变换和过渡矩阵

基变换和过渡矩阵

Definition: 过渡矩阵

设数域 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V$ 的两组基 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ 和 $\{f_1, f_2, \ldots, f_n\}$, 且它们可以相互线性表示, 即 $f_i = a_{i1}e_1 + a_{i2}e_2 + \cdots + a_{in}e_n$, $e_i = b_{i1}f_1 + b_{i2}f_2 + \cdots + b_{in}f_n$.

(1) 从基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 到基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 的过渡矩阵:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$$

(2) 从基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 到基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 的过渡矩阵:

$$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}.$$

Theorem

设 $\alpha = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2 + \cdots + \lambda_ne_n = \mu_1f_1 + \mu_2f_2 + \cdots + \mu_nf_n$, 有

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} \quad \text{和} \quad \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}.$$

并且, $A, B$ 互为逆阵, 即 $B = A^{-1}$.

Proof

有 $\alpha = \mu_1(\sum_{j=1}^{n} a_{1j}e_j) + \cdots + \mu_n(\sum_{j=1}^{n} a_{nj}e_j) = (\sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{i1})e_1 + \cdots + (\sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{in})e_n = \lambda_1e_1 + \cdots + \lambda_ne_n$,

则 $\lambda_j = \sum_{i=1}^{n}\mu_ia_{ij}$.

而由

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}$$

和

$$\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} = B\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$$

有

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = AB\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$$

, $\lambda_i$ 取任意常数, 则 $AB = I_n$.

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Theorem

设另有一个基 $\{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$, 从基 $\{f_1, \ldots, f_n\}$ 到 $\{g_1, \ldots, g_n\}$ 的过渡矩阵为 $C$, 并设 $\alpha = \lambda_1e_1 + \cdots + \lambda_ne_n = \mu_1f_1 + \cdots + \mu_nf_n = \xi_1g_1 + \cdots + \xi_ng_n$, 则 $AC$ 是从基 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 到基 $\{g_1, \ldots, g_n\}$ 的过渡矩阵, 即

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = AC \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix}.$$

Proof

由

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}$$

和

$$\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} = C\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix}$$

可得.

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